数量
容斥问题首选公式法_2017年山东公务员考试行测技巧
http://www.sdgwy.org 2017-03-27 来源：山东公务员考试网
容斥问题是一种集合计数问题，是数量关系中比较常见的一种问题，对于这一类问题，如果不进行系统性的学习，没有掌握好想用的技巧就会觉得比较难以下手，今天，山东公务员考试网（www.sdgwy.org）就详细地讲一下对于这类问题怎么用公式法快速求解。
容斥问题的常见考察方式分为二者容斥和三者容斥，根据题目所给条件总结为如下几个公式。
二者容斥问题公式：全集=A+B+空白-A∩B
三者容斥问题公式：全集=A+B+C+空白-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C
= A+B+C+空白-只含两者-2×A∩B∩C
= A+B+C+空白-至少包含两者-A∩B∩C
对于公式大家一定要记清楚并能够理解记忆，公式很重要，因为容斥问题的考察中绝大多数题目都是可以直接用公式法求解的，而且只要记住公式就能够很快的解题，下面我们通过几个例题看看具体的题目该怎么求解。
【例1】某班有50名学生，在一次测验中有26人满分，在第二次测验中有21人满分，如果两次测验都没得过满分的学生有17人，那么两次测验都得满分的有多少人？
A.14 B.12 C.17 D.20
【解析】通过都题目可以发现这是一个二者容斥的问题，要求的是两者的交集，设为X，全集是50，空白区域是17，所以根据公式可以列出式子：50=26+21+17-X，可以算出X等于14，故选择A答案。
【例2】某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的都15人。问接受调查的学生共有多少人？
A.120 B.144 C.177 D.192
【解析】通过题目可以发现这是一个三者容斥问题，要求的全集的大小。集合A可以看成是63，集合B可以看成是89，集合C可以看成是47，只含两者的是46，三者的交集是24，空白区域是15，所以列式为：全集=63+89+47+15-46-2×24=120，故选择A选项。
【例3】某服装公司就消费者对红、黄、蓝三种颜色的偏好情况进行市场调查，共抽取了40名消费者，发现其中有20人喜欢红色、20人喜欢黄色、15人喜欢蓝色，至少喜欢两种颜色的有19人。喜欢三种颜色的有3人，问三种颜色都不喜欢的有几人？
A.1 B.3 C.5 D.7
【解析】通过题目可以发现这是一个三者容斥问题，要求的是空白区域，可以设为X，全集为40，集合A是20，集合B是20，集合C是15，至少包含两者的是19，三者的交集是3，根据公式可以列式为：40=20+20+15+X-19-3，可以解出X等于7，所以选择D选项。
相信大家通过上面三个例题可以看出，容斥问题只要掌握好了相应的公式，解题起来是相当快速的，所以考生们一定要记住公式并根据所给条件选择相应的公式求解。
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