牛吃草问题又称消长问题或牛顿问题。在草原上，草在不断生长，并且为了做题方便一般可以看做草长的速度不变，牛在不断吃草且每头牛每天吃的草量相同，草原供不同数量的牛吃上一定的天数。题目条件一般给出两组数据，求第三组数据。山东公务员考试网（http://www.sdgwy.org/）认为，这类题型是公务员考试中常见题型，掌握这类题型的解题方法十分重要。

　　1.牛吃草问题的理解

　　原始题型：有一草场，N1头牛吃T1天能吃完，N2头牛吃T2天能吃完，问如果有N3头牛多少天能吃完？

　　这是一个标准的牛吃草问题。我们先看问题问的是什么东西。很明显问题问的是在一定时间内牛吃草的总量，而不难看出，其实牛总共吃的草量就是牛吃草前草场的草的总量与草在这段时间内生长的量之和。为了方便，写出一个等式：牛吃草量=原始草量+草增长量。我们可以做一个变换：原始草量=牛吃草量-草增长量。而这三个量里面原始草量是不知道的，所以这里可以把它设为M，而牛吃草量等于牛每天吃的草量乘以天数，通常我们默认每头牛每天吃的草量为1，则N头牛的话，每天吃的草量就是N。题目中给了时间，所以这里面牛吃的草量也就成为了一个已知的量，而此时还剩下一个草增长的量，这里只给了时间，所以我们可以设每天增长的草量为V，设T为吃完草所用时间，所以草的增长量就可以表示为Vt。所以我们可以通过变换后的式子得出一个基本公式：

　　M=NT-VT=（N-V）T

　　而通过那个原始题型我们可以列出几个等式：

　　M=（N1-V）T1

　　M=（N2-V）T2

　　M=（N3-V）T（这里面的T表示是我们所要求的天数）

　　由M相同可以列成一个连等式：

　　（N1-V）T1=（N2-V）T2=（N3-V）T

　　这个公式就是我们以后做牛吃草问题的一个基本的公式。

　　例题：有一牧场，已知27头牛6天可以把草吃完，23头牛9天把草吃完，如果是有21头，问几天可以把草吃完？

　　解析：直接带入公式：（27-V）*6=（23-V）*9=（21-V）*T

　　通过上述式子可以直接求出T=12

　　2.牛吃草问题的背景变形

　　例题：某演唱会检票前若干分钟就有观众开始排队等候入场，而每分钟来的观众人数一样多。从开始检票到等候队伍消失，若同时开4个入场口需50min，若同时开6个入场口则需30min，问如果同时开7个入场口需几分钟？

　　解析：像这类题型我们发现和牛吃草问题是类似的，不过一个是牛吃草，我们可以把这道题看做是入场口吃人，草是增长的，而这道题中由于每分钟都有人来，所以人也是不断在增多。原始草量没变，而这道题中检票前排队的人数也是没变的。所以我们可以把入场口当做是牛，人相当于草，我们同样可以通过上面给出的连等式列个式子：

　　（4-V）*50=（6-V）*30=（7-V）T

　　上式中V是人增长的速度，通过这个式子我们可以解出T=25

　　通过这道题和原始牛吃草问题的一个对比，我们发现他们的共同之处就是都有一个原始的不变量（一个是草量，一个是排队人数）。还有一个共同之处就是都有一个特殊的元素，而这个元素（一个是草量，一个是人数）由两个不同因素影响着数量，或是增大或是减少。若是以后碰到这样的题，我们基本可以判定它为牛吃草问题，这时我们就可以套公式了。

　　3.牛吃草问题的问法变形

　　例题：某河段中的沉积河沙可供80人连续开采6个月或60人连续开采10个月。如果要保证该河段河沙不被开采枯竭，问最多可供多少人进行连续不间断的开采？（假定该河段河沙沉积的速度相对稳定）

　　解析：通过对题干的理解，我们可以断定这是个牛吃草的问题。但是问法不同了，问的是人数最大值，也就相当于是求人挖沙速度的最大值，要想知道它的最大值，肯定要先确定一下它在一个什么范围内。而最直观的，通过前两个条件，利用公式可以把沙子增长的速度求出来：

　　（80-V）*6=（60-V）*10，可以求得沙子增长速度为30.这时候我们就可以想一下到底人挖沙的速度和沙子增长速度之间有什么样的关系呢？我们讨论如下：

　　（1）挖沙速度小于沙子增长速度时：此时相当于每天沙子增长的量都大于挖沙的量，也即每天沙子增长的量大于沙子减少的量，所以沙子每天都在增长，是永远挖不完的，此时是符合条件。

　　（2）挖沙速度等于沙子增长速度时：此时相当于每天沙子的增长量等于沙子减少量，所以此时沙子是不增不减，保持原有沉积沙量不变

　　（3）挖沙速度大于沙子增长速度时：此时相当于每天沙子增长量小于沙子减少量，也即每天沙子都在减少，所以总有一天沙子挖完，不符合题意

　　综上，挖沙速度应该是小于等于沙子增长速度，要求最大值，也即等于沙子增长速度，所以答案就是30。